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第一單元  集合與邏輯 推理與證明

本章知識(shí)結(jié)構(gòu)

本章重點(diǎn)難點(diǎn)聚焦

   重點(diǎn)：（1）與集合有關(guān)的基本概念和集合的“并”、“交”、“補(bǔ)”運(yùn)算。

        （2）全稱量詞、全稱命題、存在量詞、特稱命題等概念及應(yīng)用。

（3）充分、必要、充要條件的意義，兩個(gè)命題充要條件的判斷。

（4）合情推理與演繹推理的概念和應(yīng)用。

（5）直接證明與間接證明的基本方法。

難點(diǎn)：（1）有關(guān)集合的各個(gè)概念的含義以及這些概念之間的聯(lián)系。

    （2）含有一個(gè)量詞的命題的否定。

    （3）判斷充要條件時(shí)，區(qū)分命題條件和結(jié)論。

    （4）運(yùn)用合情推理與演繹推理解決問題。

    （5）反證法的證明。

本章學(xué)習(xí)中注意的問題：

（1）在解答有關(guān)集合問題時(shí)，首先弄清代表元素，明確元素特點(diǎn)；當(dāng)集合元素含有參數(shù)時(shí)，注意元素互異性；在集合運(yùn)算中注意邊界點(diǎn)、臨界點(diǎn)及空集可能性。

（2）注意全稱命題，特稱命題的否定。

（3）研究充分條件，必要條件，充要條件時(shí)注意聯(lián)系命題，注意原命題與逆否命題的等價(jià)性。

（4）注意數(shù)形結(jié)合，分類討論，等價(jià)轉(zhuǎn)化等思想方法的運(yùn)用。

本章高考分析及預(yù)測(cè)

（1）近幾年來，每年都有考查集合的題目，總體來說這部分試題有如下特點(diǎn)：一是基本題，難度不大;二是大都以選擇題、填空題形式出現(xiàn)，有時(shí)是解答題的一個(gè)步驟。對(duì)于集合的考查：一是考查對(duì)基本概念的認(rèn)識(shí)和理解，二是對(duì)集合知識(shí)的應(yīng)用。無論哪一種形式，都以其他基礎(chǔ)知識(shí)為載體，如方程（組）、不等式（組）的解集等。

（2）對(duì)于邏輯的考查主要考查四種形式的命題和充要條件，特別是充要條件，已經(jīng)在許多省市的試卷中單獨(dú)出現(xiàn)，命題形式：一是原命題與逆否命題的等價(jià)性（含最簡(jiǎn)單的反證法）;二是充要條件的判定。在考查基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，還考查命題轉(zhuǎn)換、推理能力和分析問題的能力以及一些數(shù)學(xué)思想方法的考查。

（3）推理在高考中雖然很少刻意去考查，但實(shí)際上對(duì)推理的考查無處不在，從近幾年的高考題來看，大部分題目主要考查命題轉(zhuǎn)換、邏輯分析和推理能力，證明是高考中�？嫉念}型之一，對(duì)于反證法很少單獨(dú)命題，但是運(yùn)用反證法分析問題、進(jìn)行證題思路的判斷經(jīng)常用到，有獨(dú)到之處。

（4）預(yù)計(jì)在2009年的高考中，集合部分的試題還將以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，主要考查集合語言與集合思想的運(yùn)用，考查以集合為背景的應(yīng)用性、開放性問題，命題將構(gòu)思巧妙、獨(dú)特新穎、解法靈活；而對(duì)于命題的考查與其它知識(shí)相結(jié)合，因此基本概念和技能一定要落實(shí)好。

§1.1 集合 集合間的基本關(guān)系

新課標(biāo)要求

  1、了解集合的含義，元素與集合的“屬于關(guān)系”。

  2、能用自然語言、圖形語言、集合語言（列舉法或描述法）描述不同的具體問題。

  3、理解集合之間的包含和相等的含義，能識(shí)別給定集合的子集。

  4、在具體情景下，了解全集與空集的含義。

重點(diǎn)難點(diǎn)聚焦

  重點(diǎn)：（1）集合的概念與表示。

       （2）集合之間的基本關(guān)系。

  難點(diǎn)：（1）集合元素的性質(zhì)：確定性、互異性、無序性。

       （2）元素與集合、集合與集合之間的關(guān)系以及符號(hào)的應(yīng)用。

       （3）空集的特殊性。

高考分析及預(yù)測(cè)

集合是數(shù)學(xué)中最基本的概念之一，集合語言是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本語言，因此集合的概念以及集合之間的關(guān)系是歷年高考的必考內(nèi)容之一，本部分的考查一般有兩種形式：一是考查集合的相關(guān)概念，集合之間的關(guān)系，題型以選擇題、填空題為主；二是考查集合語言、集合思想的理解與應(yīng)用，這多與其他知識(shí)融為一體，題型也是一般以選擇填空為主，單純的集合問題以解答題形式出出現(xiàn)的幾率較小，多是與函數(shù)、不等式等聯(lián)系。在復(fù)習(xí)中還要特別注意，新課標(biāo)的中特別強(qiáng)調(diào)表達(dá)與描述同一問題的三種語言“自然語言、圖形語言、集合語言”之間的關(guān)系，因此要注意利用韋恩圖數(shù)軸函數(shù)圖象相結(jié)合的作用，另外集合新定義信息題在近幾年的命題中時(shí)有出現(xiàn)，注意研究。2009年是新課標(biāo)命題第三年，預(yù)測(cè)在高考中部分會(huì)繼續(xù)保持穩(wěn)定難度不會(huì)太大，命題形式會(huì)更加靈活新穎。

提組設(shè)計(jì)

再現(xiàn)型題組

  1、填空

    （1）下列說法中①全中國的大胖子，②小于100的所有質(zhì)數(shù)，③幸福中學(xué)高三1班同學(xué)，④2008年北京奧運(yùn)會(huì)的所有比賽項(xiàng)目，

        以上四個(gè)說法不能組成集合的是      

（2）集合A=,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是        

  2、選擇

     （1）設(shè)全集U=R,集合M=,N=則下列關(guān)系中正確的是（   ）

  A、M=N    B、     C、        D、

     （2）給出如下關(guān)系式①②,③④⑤⑥{a}{a},其中正確的是（   ）

   A、①②④⑤    B、②③④⑤    C、②④⑤    D、②④⑤⑥

鞏固型題組

3.2008年第29屆奧運(yùn)會(huì)在北京召開，現(xiàn)在三個(gè)實(shí)數(shù)的集合，既可以表示為，也可以表示為，則         。

4.已知集合，則A,B,C之間的關(guān)系是         。

   A.   B.   C.    D.

5.設(shè)P,Q為兩個(gè)非空集合，定義集合，若則中元素的個(gè)數(shù)是               。

   A. 9    B. 8    C. 7   D. 6

6.記函數(shù)的定義域?yàn)锳, 的定義域?yàn)锽.

（1）求A.

（2）若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

提高型題組

7.已知，求實(shí)數(shù)x.

8.已知集合。

（1）若求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

(2).若求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

（3）若求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

反饋型題組

9.（08年江西）定義集合運(yùn)算，則集合的所有元素之和為（     ）。

A .  0    B.2     C.  3    D.    6

10.設(shè)集合，則正確的是（    ）

11.（08福建）設(shè)集合A=,B=,那么“”是“”的         

A.充分而不必要條件      B.必要而不充分條件

C.充要條件              D.既不充分也不必要條件

12.已知集合A=只有一個(gè)元素，則a=       

13.已知集合，集合。

（1）若,求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（2）若,求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（3）A、B能否相等？若能，求出a的值；若不能，試說明理由。

14.設(shè)A為實(shí)數(shù)集，滿足,,

   (1)若,求A;

   (2)A能否為單元素集？若能把它求出來，若不能，說明理由；

  （3）求證：若,則

15.已知集合,集合,

   其中,設(shè)全集I=R,欲使，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

§1.2集合的運(yùn)算

        新課標(biāo)要求

（1）理解兩個(gè)集合的并集與交集的含義，會(huì)求兩個(gè)簡(jiǎn)單集合的并集與交集。

（2）理解在給定集合中的一個(gè)子集的補(bǔ)集的含義。會(huì)求給定子集的補(bǔ)集。

（3）能使用韋恩圖表達(dá)集合的關(guān)系及運(yùn)算。

       重點(diǎn)難點(diǎn)聚焦

 并集、交集、補(bǔ)集的含義，以及兩個(gè)集合之間并、交、補(bǔ)的運(yùn)算

      高考分析及對(duì)策

（1）以考查集合的并、交、補(bǔ)等運(yùn)算為主，同時(shí)注重韋恩，數(shù)軸應(yīng)用，求并、交、補(bǔ)等數(shù)形結(jié)合的思想的考查。

（2）本節(jié)在高考中常以選擇、填空題型考查，屬容易題。

     題組設(shè)計(jì)

再現(xiàn)型題組

1.已知集合M=則為

A    B

C             D

2 已知集合,,R是全集。

①  ②  ③ ④

其中成立的是（ ）

A ①②           B  ③④      C  ①②③      D  ①②③④

鞏固形題組

3.設(shè)函數(shù)的定義域M，函數(shù)的定義域?yàn)镹，求

 （1）集合M，N

 （2）集合,

4.（08湛江模擬）已知集合，N為自然數(shù)集合，求

5.（07北京）已知集合，，若

，求a的取值范圍

提高型題租

6.（08廣東清遠(yuǎn)）記函數(shù)的定義域?yàn)锳，，(a<1)的定義域?yàn)锽

 (1)求A

（2）若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍

7.已知,且求實(shí)數(shù)m的取值范圍

8.設(shè)全集是實(shí)數(shù)集R，，。

  （1）當(dāng)a=-4時(shí)，求

  （2）若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍

  反饋型題組

9.設(shè)全集U是實(shí)數(shù)集R，,,則圖中陰影部分所表示的集合是（   ）

A.  B.  C.  D.   

10.(08廣東興寧模擬)設(shè)數(shù)集，，M、N都是集合的子集，如果把b-a叫做集合的“長(zhǎng)度”，那么集合的“長(zhǎng)度”的最小值是

   A.     B.      C.     D.   

11.定義集合A*B=,設(shè)，則集合A*B所有元素之和為         

12.高三某班共有45人，摸底測(cè)驗(yàn)數(shù)學(xué)20人得優(yōu)，語文15人得優(yōu)，兩門都不得優(yōu)20人，則兩門都得優(yōu)的人數(shù)       

13.已知集合，

（1）若,求實(shí)數(shù)a的取值范圍

    (2)當(dāng)a取使不等式恒成立的最小值時(shí)，求

§1.3命題、基本邏輯連接詞與量詞

新課標(biāo)要求：

1.了解命題及逆命題、否命題與逆否命題

2.了解邏輯連結(jié)詞“或”“且”“非”的含義。

3.理解全程量詞與存在量詞的意義。

4.能正確地對(duì)含有一個(gè)量詞的命題進(jìn)行否定。

5.學(xué)會(huì)運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)化思想進(jìn)行推理。

重點(diǎn)難點(diǎn)聚焦：

本節(jié)內(nèi)容的重點(diǎn)是有關(guān)命題的概念及四種命題間的相互關(guān)系；邏輯聯(lián)結(jié)詞的含義及命題真假的判定；全稱量詞與存在量詞的有關(guān)概念。

本節(jié)內(nèi)容的難點(diǎn)：是對(duì)含有一個(gè)量詞的命題的否定，含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假的判斷，以上是重點(diǎn)突破的內(nèi)容。

高考分析及預(yù)測(cè)：

1.考查命題轉(zhuǎn)化，邏輯推理能力和分析問題，解決問題的能力。多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)。

2.全稱量詞與存在量詞作為新增內(nèi)容，很有可能在選擇題，填空中出現(xiàn)。

題組設(shè)計(jì)

再現(xiàn)型題組：

1.     分別指出由下列命題構(gòu)成的“”，“ ”“”形式的命題的真假。

（1）p: ,    q:

（2）p:1是奇數(shù)，q:1是質(zhì)數(shù)

（3）p:      q:

（4）p:         q:27不是質(zhì)數(shù)

（5）p:不等式的解集是

q:不等式的解集是

2.     寫出下列命題的否定，并判斷命題的否定的真假，指出命題的否定屬于全稱命題還是特稱命題：

（1）所有的有理數(shù)是實(shí)數(shù)。

（2）有的三角形是直角三角形

（3）每個(gè)二次函數(shù)的圖像都與Y軸相交

（4）

鞏固型題組

3.     如果命題“”是真命題，命題“ ”是假命題，那么（）

（A）命題p和命題q都是假命題

(B) 命題p和命題q都是真命題

(C) 命題p和命題非q真值不同

(D) 命題p和命題非q真值相同

4.已知，設(shè)命題p:函數(shù)在R上單調(diào)遞增；命題q:不等式對(duì)恒成立，若p且q為假，p或q為真，求a的取值范圍。

提高型題組

5設(shè)P:關(guān)于x的不等式的解集是,Q:函數(shù)的定義域?yàn)镽，如果P和Q有且僅有一個(gè)正確，求a的取值范圍.

6（2007年江蘇統(tǒng)考）下列命題中不正確的是（）

A. ,有是等差數(shù)列

B. ，使是等差數(shù)列

C. ，有是等差數(shù)列

D.  ，使是等差數(shù)列

反饋型題組：

7. 已知命題p: ，則（ ）

A. :      B. :

C. :      D. :

8. 命題“存在，使”的否命題是（）

A.存在，使>0

B. 不存在，使>0

C.對(duì)于任意都有

D. 對(duì)于任意都有>0

9. 命題“若ab=0，則a=0或b=0”的逆否命題是（）

A.若,則或

B. 若或,則

C. 若,則且

D. 若且,則

10. 命題p:不等式的解集為，命題q:“A=B”是“sinA=sinB”成立的必要非充分條件，則（  ）

A．p真q假                    B.“p且q”為真

C. “p或q”為假               D.p假q真

11. 與命題 “若，則”等價(jià)的命題是（）

A. 若，則          B. 若，則                  

C若   則         D. 若則

12. 如果命題“”為假命題，則（  ）

A.p、q.均為真命題

B. p、q.均為假題

C..p、q.中至少有一個(gè)為真命題

D .p、q.中至多有一個(gè)為真命題

13. 已知命題p: ，q: ，且 “p且q”與“非p”同時(shí)為假命題，求x的值。

§1.4充分條件，必要條件與四種命題

新課標(biāo)要求

1.本節(jié)涉及到的主要基礎(chǔ)知識(shí)

（1）了解命題及其逆命題，否命題，逆否命題

（2）理解充分條件，必要條件與充要條件的意義，會(huì)分析四種命題的相互關(guān)系

2.常用的數(shù)學(xué)思想方法

演繹法，特例法，轉(zhuǎn)化思想法

3.主要能力

運(yùn)算能力和邏輯思維能力

重點(diǎn)難點(diǎn)聚焦

本節(jié)重點(diǎn)難點(diǎn)是四種命題的等價(jià)轉(zhuǎn)化和充分條件，必要條件，充要條件的判斷

高考分析和預(yù)測(cè)

近幾年的高考命題中，命題成立的充分，必要及充要條件的求解和判斷問題；四種命題的關(guān)系已成為高考命題的首選素材。一方面這類問題具有很深廣的開放性，另一方面命題的空間廣闊，可與多個(gè)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行交匯，命題素材隨處可見。

題組設(shè)計(jì)

再現(xiàn)型題組

1.分別寫出下列命題的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷它們的真假。

（1）若，則方程有實(shí)根；

（2）若，則或；

（3）若，則全為零

2.在下列各題中，判斷A是B的什么條件，并說明理由

（1）A: 方程有實(shí)根；

（2）A:圓與直線相切，B：

鞏固型題組

3.已知：，且是的必要而不充分條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

4.下列命題：（1）“若xy=0則x,y中至少有一個(gè)為零”的否命題（2）

面積不相等的三角形不全等，（3）“若，則有實(shí)根”的逆否命題，（4）是方程表示直線的充分不必要條件，其中真命題有

提高型題組

5.分別寫出下列命題的逆命題，否命題，逆否命題，命題的否定，并判斷它們的真假：

（1）若，則方程有實(shí)根；

（2）若都是奇數(shù)，則是偶數(shù)；

（3）若，則或；

（4）若，則全為0.

6.已知拋物線C: 和點(diǎn)A（3，0），B(0,3).求證：拋物線C與線段AB有兩個(gè)不同的交點(diǎn)的充要條件是

反饋型題組

7（2007重慶）命題“若，則”的逆否命題是（  ）

A.若，則，或      B.若，則

C.若，或，則      D.若

1、C  2、A   3、A    4、C   5、B   6、B